Расстояние от точки до прямой

1. Базовые понятия
2. Определения расстояния между точкой и прямой
3. Определение расстояния между точкой и прямой в плоскости
4. Определение расстояние от точки до прямой в пространстве

Базовые понятия

Расстоянием есть такая величина, которая характеризует отдаленность объектов друг от друга. Это определение применимо для плоскости и для пространства. Рассмотрим пример. Допустим у нас есть две точки, изображенные на рисунке:

Нужно узнать расстояние от одной точки до другой. Для этого можно воспользоваться каким-либо измерительным инструментом, к примеру, линейкой. Прикладываем ее началом к одной точке и соединяем с другой, на шкале мы увидим значение, которое и будет равно расстоянию между точками. 

Для определения можно применять также циркуль, при этом циркулем измеряют расстояние, его прикладывают к линейке или другому инструменту со шкалой расстояния, и получают значение.
Рассмотрим пример решения задачи по определению расстояния между точкой и прямой.

Определения расстояния между точкой и прямой

Если у нас есть прямая и точка, что не находится на ней, то согласно аксиомы геометрии мы знаем, что они образуют некую плоскость, именно поэтому мы можем решать эту задачу используя понятия планиметрии.

Теорема о создании единственной плоскости при помощи точки и прямой выводится из аксиомы о трех точках, описывающих плоскость. Ведь на прямой возможно выбрать две случайные точки, а третья у нас тоже есть.

Расстояние от точки до прямой – это перпендикулярный отрезок, соединяющий точку и прямую.

Разберем подробнее понятие о расстоянии между точкой и прямой на конкретном примере.

Определение расстояния между точкой и прямой в плоскости

Необходимо определить расстояние от точки \(X\) до прямой \(k\).

 

Изобразим перпендикулярный отрезок от точки \(X\) до прямой \(k\), получим точку \(A\). Выберем произвольно точку на прямой \(k\), назовем ее точкой \(B\). Соединив точки, мы получили треугольник \(XAB\).

Гипотенуза этого треугольника находится противоположно прямому углу, а она всегда будет самой длинной стороной треугольника, это означает, что самым кратким расстоянием между точкой \(X\) и прямой \(k\) будет перпендикулярный отрезок \(XA\).

Расстояние \(XB\) всегда будет больше, чем \(XA\), не зависимо от выбора расположения точки \(B\).

Распространенными задачами на эту тему как в плоскости, так и в пространстве, есть задачи на определение расстояния при известных координатах точки и уравнении прямой.

Практически не всегда удобно графически решать данные задачи, поэтому их решают аналитическим путем.

Разберем решение подобной задачи в плоскости.

Задано уравнение прямой \(a: y=3x+2\) и точка \(M\) с координатами (2;0). Необходимо определить расстояние от точки до прямой.

Рисуем перпендикуляр из точки \(M\) на прямую \(a\), получаем точку \(D\).

Чтобы найти координаты точки пересечения \(D\), необходимо для начала найти уравнение перпендикуляра. Для этого приведем уравнение прямой a к общему виду: \(3x-y+2=0\).

Имея запись в такой форме не сложно определить, что вектор нормали к этой прямой будет иметь координаты (3;-1). Этот же вектор есть направляющим для нашего перпендикуляра.

Также мы знаем, что наш перпендикуляр пересекается с прямой через точку \(M\) с координатами (2;0). Значит мы можем привести это уравнение к виду:

\({x-2\over3}={-y\over1}\)

Для нахождения координат точки пересечения \(D\), необходимо решить систему уравнений:

Выразив y из второго уравнения и подставив его в первое, получаем:

\({x-2 \over3}=-3x-2. \)

Решаем это уравнение:

\(x-2+9x+6=0;10x+4=0;10x=-4;x=-0.4.\)

Подставив найденное значение во второе уравнение, находим \(y\):

\(y=3*(-0,4)+2=0.8.\)

В итоге, мы определили координаты точки пересечения прямой и перпендикуляра. Они равны (-0.4;0.8).
Определим длину отрезка \(MD\):

\(MD=\sqrt{(-0,4)^2+0,8^2 )}=\sqrt{0,8}≈0,89. \)

Ответ: расстояние от точки \(M\) до прямой a равняется 0,89.

Определение расстояние от точки до прямой в пространстве

Для расчета расстояния между точкой и прямой в пространстве пользуются такой формулой:

где \(x_0, y_0, z_0\) – координаты заданной точки;
      \(x_1, y_1, z_1\) – координаты вектора нормали заданной прямой;
     \( l, m_1, n_1\) – координаты направляющего вектора прямой.

Эта формула аналогична уравнению для плоскости, но представляется сложнее. В расчетах нет ничего сложного, если владеть принципами решения матричных выражений.

Разберем решение задачи с применением этой формулы.

Например, прямая m задана уравнением: \({(x-5)\over1}={(y+1)\over2}={(z-4)\over4} \), точка имеет координаты \(K\)(1;2;3).

Необходимо определить расстояние в пространстве между точкой \(K\) и прямой \(m\).

Направляющий вектор прямой m имеет координаты (1;2;4), а вектор нормали (-5;-1;4).

Подставив все значения в формулу расчета, получим:

В ответе получаем, что расстояние в пространстве между точкой \(K\) и прямой \(m\) составляет 5,080.